Intervalo de confianza para la probabilidad de éxito p en una binomial

Durante un año y medio las ventas han estado disminuyendo de manera coherente en
los 1.500 establecimientos de una cadena de comida rápida. Un empresa de consultoría
ha determinado que el 30% de una muestra de 95 sucursales tiene claros signos de una
mala administración. Construir un intervalo de confianza del 95% para esta porción.
A la población de todos los establecimientos de ésta cadena de comida rápida le vamos
a llamar X que seguirá una binomial con probabilidad de éxito, probabilidad de tener
signo de mala administración, p desconocida. A fin de estimar dicho parámetro, se
toma una muestra de tamaño n = 95 y definimos p′ como la proporción de éxitos en la
muestra. En este caso p′ es 0,3 y 1-p′ = 0,7.

Como n > 20, n ∗ p′ ≥ 5 y n∗(1− p′) ≥ 5 , entonces la distribución X es
aproximadamente normal, i.e.:

Como p es desconocida, la aproximaremos por p′ que es la estimación puntual de p.
Entonces, la proporción muestral de éxitos, que la hemos utilizado para estimar la
proporción de la población tendrá la siguiente distribución:

Por lo tanto la estimación del error estándar de la proporción de establecimientos que
tiene claros signos de mala será 0,057.

El intervalo de confianza del 95% para la probabilidad de éxito poblacional p viene dado
por:



donde

 es el valor z*, de manera que el 95% del área bajo la curva
  normal se incluye entre –1,96 y 1,96.

Por lo tanto, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de establecimientos de
esta cadena de comida rápida que tiene mala administración estará entre 0,20788 y
0,39212.

Si extraemos varias muestras del mismo tamaño y calculamos un intervalo de confianza
para cada muestra, el 95% de esos intervalos van a incluir a la verdadera proporción de
establecimientos con mala administración

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